Sinová a Kosinová věta

Sinová věta
V trojúhelníku ABC s úhly α β γ platí:

Důkaz
Tuto větu dokážeme díky našim znalostem o pravoúhlých trojúhelnících. Bod P je pata výšky na stranu c.

|CP|=|AC|*sin(α)
|CP|=|BC|*sin(β)
|AC|*sin(α) = |BC|*sin(β)
b*sin(α) = a*sin(β)

Díky této větě můžeme zároveň vypočítat poloměr kružnice opsané danému trojúhelníku.

Do tohoto vztahu můžeme samozřejmě dosadit další dvojice stran a úhlů (b a β, c a γ).

Příklady
Je dáno: β = 60°, γ=100° a a=2.6. Najděte délku strany c. Jelikož je toto článek o sinové větě, je tedy jasné, že k vyřešení tohoto problému musíme použít sinovou větu. Prvním krokem je ale nalezení velikosti úhlu α: 180-(γ+β) = 20°. Nyní dosadíme do vzorce.

Pokud jsou zadány dva úhly a jedna strana, situace je jednoduchá. Pokud jsou ale zadány dvě strany a úhel, který není mezi nimi, nastává malý problém. V tomto případě musíme před výpočtem testovat; buď získáme jeden, nebo dva trojúhelníky. V některých případech dokonce daný trojúhelník neexistuje. Testování probíhá následujícím způsobem:

Tupý úhelPokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
Pokud je strana protilehlá k danému úhlu menší nebo rovná délce druhé strany, není žádné řešení.
Ostrý úhelPokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
Pokud je délka protilehlé strany k danému úhlu menší nebo rovna než druhá strana musíme testovat (předpokládejme, že strana b je přilehlá strana a strana a je strana protilehlá):  – jedno řešení
 – existují dva trojúhelníky
 – neexistuje žádné řešení
Je dáno: α = 48°, a=12, b=13. Úhel je ostrý a protilehlá strana je menší než strana přilehlá → musíme testovat.  ,   →  → existují dvě řešení. Začneme tak, že nalezneme úhel β:  . Nalezli jsme úhel β1. Pro druhé řešení bude hodnota tohoto úhlu logicky jiná; velikost úhlu β2 je jednoduché: β2=180-β1=126.4. Nyní by stačilo dořešit trojúhelníky, ale to už je jednoduché a proto to zde nebudu rozepisovat.

Kosinová věta
Pro trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ platí následující věta: 

Pythagorova věta je odvozena z kosinovy věty. Schválně zkuste ve vzorci c2 = b2 + a2 – 2*a*b*cos(γ) dosadit za γ = 90°. Jelikož cos(90) = 0, můžeme škrtnout -2*a*b*cos(γ) a zbude nám pouze Pythagorova věta c2 = b2 + a2

Je dáno: γ = 100.5°, a=1.2 a b=2.6. Najděte délku strany c: 

Je dáno: a=20, b=18 a c=13. Určete velikost úhlu α.