Přirozená čísla

Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jedná se o kladná celá čísla, tedy o čísla 1, 2, 3, 4, …

Značení

Přirozená čísla je množina, která obsahuje kladná celá čísla 1, 2, 3, 4, … Tuto množinu obvykle značíme pomocí písmene N se zdvojenou první nožkou, takto: ℕ. Je to z anglického „naturals“.

Někdy předpokládáme, že množina přirozených čísel obsahuje i nulu. Pokud to potřebujeme rozlišit, používáme obvykle klasické ℕ pro množinu bez nuly a pokud chceme i nulu, pak přidáme nulu do indexu takto: ℕ0. Často pak ještě používáme značení s pluskem pro zvýraznění, že počítáme s přirozenými čísly bez nuly ℕ+.

Přirozená čísla používáme především pro určování množství něčeho („máme doma tři židle“, „v parku je třicet laviček“, …) a pro určení pořadí („první člověk na měsíci“, „Kanada je druhá největší země na světě“, …).

Vlastnosti

Přirozená čísla mají některé zajímavé vlastnosti:

1. Množina přirozených čísel je nekonečná, ale je spočetná, můžeme je všechny uspořádat do posloupnosti.
2. Přirozená čísla jsou uzavřená vůči operaci sčítání a násobení. Znamená to, že pokud vynásobíme nebo sečteme kterákoliv dvě přirozená čísla, získáme opět přirozené číslo.
3. Nejsou uzavřená vůči odečítání, protože pokud odečteme větší číslo od menšího, dostaneme záporné číslo.
4. Podobně nejsou ani uzavřená vůči dělení, například 7/2 není přirozené číslo.

Dělení se zbytkem

V minulé kapitole jsme si řekli, že přirozená čísla nejsou uzavřená vůči dělení. Nicméně můžeme nadefinovat operaci dělení se zbytkem, což jistě všichni znáte. Pokud vydělíme 7/2, dostaneme 3,5. Pokud použijeme dělení se zbytkem, získáme výsledek 3 a zbytek 1. Tedy pokud vynásobíme 3 · 2 a přičteme zbytek, získáme zpátky 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Přirozená čísla sice nejsou pak uzavřená vůči této operaci, ale přirozená čísla včetně nuly už ano. Tedy jak výsledek, tak zbytek bude obsažen v množině ℕ0.

Definice dělení se zbytkem vypadá takto:

V definici jsme dělili a:b, číslo r se nazývá zbytek po dělení a q výsledek dělení. Co znamenjaí podmínky? Předpokládáme, že se pohybujeme v přirozených číslech včetně nuly, ale protože nemůžeme dělit nulou, tak vybíráme b z množiny bez nuly.

Takže pro příklad, pro výpočet 19:5 by platilo: a = 19 a b = 5. Rozklad by vypadal takto:

Tedy q = 3, to je výsledek po dělení a r = 4, to je zbytek.