Funkce

Funkce je naprosto zásadní pojem v matematice, kterému byste měli plně rozumět. Matematika je protkaná funkcemi a kdejaký symbol, který znáte od základní školy, ve skutečnosti představuje funkci.

Analogie funkce

Už jste někdy viděli automat na kávu? Co je pro takový automat typické? Že do automatu vložíte nějaké mince a automat vám vyplivne nějaké kafe. Pokud do automatu nahážete více mincí, automat odpoví lepším kafe.

Funkce představuje takový matematický automat na kávu. Do funkce vložíte nějaký vstup (mince) a funkce vrátí nějaký výstup (kafe). To je celý základní princip funkce.

Úkolem funkce je převzít nějaký vstup, nějaké číslo, něco s tímto číslem uvnitř provést, změnit ho a následně toto nové číslo vrátit na výstupu.

Základní pojmy

Každá funkce má jméno, které ji označuje. Nejčastějším jménem pro funkci je písmeno „f“. Pro funkci potřebujeme předpis, který bude určovat, jak má funkce pracovat – jak má automat tu kávu uvařit. Pro začátek si můžeme funkci představit jako tabulku se dvěma sloupečky. V prvním sloupečku bude náš vstup (v automatu by to byla hodnota mincí) a ve druhém výstup funkce (káva).

Vidíme, že výstup je vždy dvakrát větší než vstup, ale vůbec to nemusí být pravidlem. Můžeme mít i takovou tabulku:

Nicméně pro začátek nám bude stačit první, pravidelná tabulka. Můžeme říci, že tato tabulka definuje funkci f. Co funkce dělá? My do funkce vložíme nějaký vstup, funkce tento vstup vyhledá v prvním sloupečku tabulky a vrátí výstup na témže řádku. Pokud hledáme výstup funkce pro číslo tři, zapsali bychom to takto:

Našli jsme řádek, kde je vstup rovný trojce a na témže řádku se výstup rovnal šesti. Dále by platilo f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 a f(5) = 10. Zapisovat všechny funkce pomocí tabulek se sice možná jeví jako přehledné pro pár čísel, ale pokud pracujeme s více čísly, je to krajně nepraktické. Proto potřebujeme jinou formu zápisu. Můžeme ji zadat funkčním předpisem. V naší tabulce platilo, že výstup je dvakrát větší než vstup. To bychom funkčním předpisem mohli zapsat takto:

Toto je jednoduchá lineární funkce, ale to je zatím jedno. Co nám tento výraz říká? Písmeno f značí název funkce, to už víme. Výraz v závorkách, tedy písmeno x, označuje parametr funkce. V analogii s automatem by to představovalo pojem „hodnota vhozených mincí“. Parametr funkce je proměnná, do které se uloží námi předaná hodnota. Pokud bychom do automatu (funkce) vhodili dvacet korun, platilo by ve funkci, že x = 20. A dál si s touto hodnotou bude automat či funkce pracovat po své.

Dále je rovnítko a za rovnítkem je samotný předpis, který nám specifikuje, co se má s danou hodnotou x dělat. Vidíme, že funkce předanou hodnotu x vynásobí dvěma. To je vše.

Další příklady funkcí

Na této pravé straně může být prakticky jakýkoliv matematický výraz. Mohou tam být i další funkce, mohou tam být podmínky, které zpřesní definici. Mohli bychom slovně zadefinovat nějakou funkci například takto: „pokud je vstupu sudé číslo, vrať nulu, pokud je na vstupu liché číslo, vrať jedničku“. To bude nějaká funkce, která bude vracet pouze jedničku a nulu, ale funkce to bude.

Důležité je pochopit, že funkci je možné zadefinovat téměř jakkoliv. I funkce má samozřejmě svá pravidla, ale ta teď nejsou tak důležitá – jedno z pravidel je navíc zmíněno hned v další kapitole. Definice funkce nemusí dávat na první pohled nějaký smysl, nemusí mít nějaký řád. Funkce může klidně vrátit vždy dvojnásobnou hodnotu kromě případu, kdy je na vstupu sedmička. Pak vrátí devítku. Je to asi celkem nesmysl, ale i toto je funkce.

Funkcí můžeme nazvat i velkou část operací, které děláme mimo matematiku. Například pokud si spočítáte délku slova „mamut“, můžeme říci, že jste zavolali funkci s názvem „délka slova“ a předali jste jí jako argument slovo „mamut“. Funkce spočítala písmena ve slově a vrátila na výstupu číslo pět.

Potřebujete vypočítat, jaký budete platit složený úrok z půjčky? I to může zařídit funkce. Jednoduše nadefinujete funkci tak, že vypočítá velikost úroku třeba po deseti letech. Potřebujete zjistit, kolik kilometrů ještě ujede auto na určitý počet litrů benzinu? Definujte si funkci! Pokud auto ujede průměrně na litr benzinu třeba 11 kilometrů, pak funkci, která spočítá, kolik kilometrů ještě ujedeme, můžeme nadefinovat takto:

Pokud nám zbývá už jen 17 litrů benzinu, vypočteme vzdálenost zavoláním funkce takto:

Funkce je zkrátka cokoliv, co nám na nějaký vstup vrátí nějaké číslo. Vrať vzdušnou vzdálenost z Opavy do nějakého města, vrať délku nejdelší písně na nějakém zadaném albu, vrať počet vlasů na hlavě zadaného člověka, vrať počet nohou předaného zvířete atp.

Základní vlastnost funkce

Nesmírně důležitou podmínkou pro funkci je, vrátíme-li se k tabulce, aby se v prvním sloupečku se vstupem neopakovala žádná hodnota dvakrát. Pokud by ta tabulka vypadala takto:

… tak bychom nebyli schopni říci, co má funkce vrátit, pokud do ní vložíme jedničku:

Funkce musí být jasně definovaná, nemůže se stát, že by pro stejný vstup mohla vrátit dva různé výsledky. To prostě nejde. Po funkci požadujeme, aby se stejným vstupem vždy vrátila i stejný výstup. Pozor na to, že tento požadavek se nevztahuje na druhý sloupeček, na výstup. Výstupy mohou být klidně stejné, to nám nevadí. Tato tabulka by byla platná:

Vyhodnocení funkce

Už víme, jak se která část funkce nazývá a jak funkci zhruba definovat. Teď si krok po kroku vysvětlíme, jak probíhá vyhodnocení funkce. Máme tedy funkci f(x) = 2x. Co se bude dít, když do funkce vhodíme trojku? Pokud chceme do funkce vhodit trojku, znamená to pro nás dosadit za parametr funkce číslo tři. Parametrem funkce je trojka, dosadíme tak za všechna x trojku:

Už vidíme, že funkce vyplivne šestku, stejně jako před chvílí tabulka. Ta se ovšem omezovala pouze na pět čísel, naše nová definice dokáže pobrat i další čísla:

Tomuto postupu, kdy za proměnnou x dosazujeme konkrétní hodnoty říkáme vyhodnocení funkce nebo volání funkce, případně aplikace funkce. Pokud tak řekneme, že „zavoláme funkci f s argumentem 5“, chceme vypočítat hodnotu f(5), což v našem případě bude f(5) = 2 · 5 = 10.

Další dva pojmy k zapamatování. To, s čím funkci voláme (to, co dosadíme za x), se nazývá argument funkce. Může se to zdát trochu zmatené, ale pokud máme funkci f(x) a zavoláme ji s hodnotou tři f(3), pak x je parametr funkce a 3 je argument funkce. Argument je ta samotná hodnota, se kterou funkci voláme. Parametr je původní proměnná, se kterou se funkce definována. Je to spíš technický detail.

Další pojem je funkční hodnota, což je hodnota, kterou funkce vrátí na výstupu. Předchozí funkce vrátila při volání s číslem tři číslo šest. Číslo šest je tak v tomto případě funkční hodnota. Celou větou bychom řekli „funkce f má v bodě tři funkční hodnotu šest“. Pod pojmem „bod“ se v tomto kontextu obvykle myslí argument funkce.

Funkce v běžné matematice

V běžné matematice se vyskytuje hromada funkcí, které mají velmi speciální způsob zápisu, takže to ani nevypadá, že se jedná o funkce. Například již zmíněná absolutní hodnota není nic jiného než funkce. Na vstupu bere nějaké číslo a na výstupu vrací buď stejné číslo, nebo číslo s opačným znaménkem.

Určitě poznáváte symbol pro odmocninu: √. Toto je zase funkce. Na vstupu bere nějaký argument a na výstupu vrací druhou odmocninu. Obdobně i druhá mocnina x2 je funkce. Na vstupu bere číslo a na výstupu vrací druhou mocninu toho čísla.

Je docela důležité si uvědomit, že většina podobných magických symbolů není ve skutečnosti nic složitějšího než nějaká obyčejná funkce. Nedívejte se na symbol √ jako na podivný zahnutý patvar, dívejte se na ten symbol jako na funkci.

Protože zejména pro začátečníka může být matoucí výraz, který obsahuje hromadu matematických symbolů, se kterými si chudák začátečník z půlky neví rady a přitom se prostě jedná o pár složených funkcí. Vezměme si na pomoc tento příklad:

Na to když se podívá matematický laik, tak se poškrábe na hlavě a nebude moc tušit, co s tím má dělat. Přitom v tom výrazu jsou obsaženy celkem čtyři celkem jednoduché funkce, které se postupně aplikují na proměnnou x. Dalo by se to rozepsat pomocí pojmenovaných a vnořených funkcí takto:

Zápis je to delší, ale pro někoho, kdo se nevyzná v symbolech asi přehlednější. Zároveň je také naprosto jasná posloupnost, v jaké se budou funkce postupně volat.

Shrnutí zápisu funkce

Funkce má jméno, což může být v podstatě cokoliv. Nejčastěji se obecná funkce pojmenovává jako f. Každá funkce má daný počet parametrů, které píšeme do kulatých závorek za název. Pokud by naše funkce f měla dva parametry, zapsali bychom to takto: f(x, y) nebo f(a, b). Na pojmenování parametrů obecně nezáleží.

Některé často používané funkce mají svůj vlastní symbol, například odmocninamá symbol √. Dále sin nebo sin(x) je funkce sinus, |x| je funkce absolutní hodnota a x! je funkce faktoriál.

Pokud má funkce jeden parametr, tak někdy vynecháváme závorky, což může někdy zpřehlednit zápis a někdy ne. Takže sin(x) a sin x jsou platné zápisy funkce sinus.

Mluví-li se o parametru funkce, mluví se o písmenu x v zápise f(x). Argument je pak hodnota, se kterou funkci voláme, kterou dosazujeme za x. Často tyto dva pojmy splývají. Funkční hodnota je hodnota, kterou získáme po zavolání funkce. Zapíšeme to jednoduše jako název funkce, závorky a argument. Pokud máme funkci f(x) = 2x a za parametr x dosadíme argument x = 4, pak řekneme, že jsme zavolali funkci s argumentem x = 4 a výsledná funkční hodnota f(4) je rovna osmi.