Celá čísla

Celá čísla jsou čísla, která nemají desetinnou část, obsahují v sobě přirozená čísla, k nim inverzní (záporná) čísla a nulu.

Vlastnosti

Celá čísla je množina, která obsahuje čísla …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Množinu obvykle značíme písmenem Z, se zdvojenou prostřední čárou: ℤ, z německého „Zahlen“ (čísla). Celá čísla je nekonečná a spočetná množina.

Celá čísla mají například tyto vlastnosti:

1. Jsou uzavřená na operacích sčítání a násobení stejně jako přirozená čísla. To znamená, že pokud sečteme dvě celá čísla, získáme opět celé číslo.
2. Na rozdíl od přirozených čísel jsou celá čísla uzavřená také na operací odečítání. Přirozená čísla nebyla, protože rozdílem dvou přirozených čísel jsme mohli získat číslo záporné. Což nám v případě celých čísel nevadí, protože ta záporná čísla obsahují.
3. Stejně jako přirozená čísla nejsou uzavřená na operaci dělení. Stále platí, že můžeme po dělení získat nějaké necelé číslo.
4. Ke každému celému číslu c existuje inverzní číslo −c. Pokud máme číslo 10, je inverzní číslo −10. Pro 55 je to −55. A stejně tak se zápornými čísly: pro −13 je inverzní prvek 13. Pokud máme celé číslo c a k němu inverzní číslo −c, pak jejich součtem získáme nulu: c+(−c) = 0. Proto inverzním prvkem k nule je zase nula.

Sudá a lichá čísla

Celá čísla můžeme rozdělit na sudá a lichá čísla. Sudá čísla jsou čísla, která jsou dělitelná dvojkou, tedy 2, −4, −8, 40, 124 atd. Lichá čísla mají po dělení dvěma zbytek jedna, tj. jsou to čísla −1, 1, 5, 19, −41, atd. Všimněte si, že opravdu i u záporných čísel rozlišujeme sudost a lichost (tj. číslo −5 je opravdu liché) a že nula je sudé číslo.

Vlastnosti vzhledem k operaci sčítání: pokud sečtete dvě sudá čísla, získáte opět číslo sudé. Další vlastnosti zobrazuje následující tabulka:

sudé+sudé=sudé
sudé+lichél=liché
liché+liché=sudé

Dělení se zbytkem

I na množině celých čísel můžeme, podobně jako u přirozených čísel, nadefinovat dělení se zbytkem, jen se musíme vypořádat se zápornými čísly. Takže základní definice bude tentokrát vypadat takto:

V tomto výrazu dělíme a:b, číslo q představuje výsledek (kvocient) a číslo rzbytek po dělení. Číslo b musí být různé od nuly, nemůžeme dělit nulou. Zbytek musí být kladný a musí být menší než absolutní hodnota z b, což nám eliminuje případ, kdy bychom dělili záporným číslem.

Jak by pak takové dělení vypadalo? Zkusíme vydělit −21:4. Pak by čísla vypadala takto:

Výsledek (kvocient) je −6 a zbytek je 3. Může vás překvapit, že výsledek je jiný než v případě, kdy bychom měli všechna čísla kladná:

Zde by byl výsledek (kvocient) 5 a zbytek 1. Rozdíl je právě v záporných číslech. V kladných číslech totiž v prvním kroku hledáme největší celé číslo, které je menší než 21 a je dělitelné čtyřmi beze zbytku. To je číslo 20. Proto vydělíme 20:4 = 5 a dostaneme naší pětku. Zbytek pak získáme rozdílem 21 − 20.

V záporných číslech postupujeme stejně. Hledáme největší číslo, které je menší než −21 a je dělitelné beze zbytku 4. Číslo −20 ale není menší než −21, je větší. Proto největší číslo, které je menší než −21 a je beze zbytku dělitelné 4 je číslo −24. Zbytek opět získáme rozdílem −21−(−24) = −21 + 24 = 3.